解析函数的应用——平面静电场的电势分布与电场线族方程
在平面静电场没有电荷的区域，静电场的电势满足二维拉普拉斯方程。这样，对于电场所处区域上的某一解析函数： \[ f\left( z \right) =u\left( x,y \right) +iv\left( x,y \right) \] 其虚部或者实部可以被用来表示该区域上静电场的电势，我们称这一解析函数为该平面静电场的复势。
为方便起见，不妨设 \(u\left( x,y \right)\)为电势， \(u\left( x,y \right) = C\) (\(C\) 为常数) 为等势线族，相应的，由于解析函数的性质，\(\nabla u\) 与 \(\nabla v\) 正交，故 \(v\left( x,y \right) = C\) 为电场线族。
下面举例说明，如何由等势线族方程求出复势。
已知等势线族的方程为“\(x^2+y^2=c\)”，求复势。
前文提到，等势线族的方程恰好也为 \(u\left( x,y \right) = C\) 的形式，题目给出的方程似乎就是我们想要的“\(u\left( x,y \right)\)”，但这是错误的！因为\(u\left( x,y \right)\)必须是调和函数（即满足拉普拉斯方程），而题目给出的并非调和函数。
我们不妨设 \(t=x^2+y^2\)，来验证一下题中的方程是否为调和函数，有： \[ \frac{\partial t}{\partial x}=2x,\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}=2 \] \[ \frac{\partial t}{\partial y}=2y,\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}=2 \] 由于 \(\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}\ne 0\)，故 \(t\) 不是调和函数。
我们的目标正是需要确定一个调和函数，在此，既然题设函数不符合要求，我们可以通过对 \(t\) 进行一个“\(F\)”变换来得到这个调和函数。
可以这么做的原因是，我们令 \(F(t)\) 等于常数时（比如 \(c_1\) ），解出来的 \(x^2+y^2\) 的值仍为常数（比如 \(c_2\) ），虽然这里的 \(c_2\) 与原来题干中的 \(c\) 不是同一个数，但它仍是常数，仍可以保证题干中的方程表示“曲线族”，因此并没有破坏题设条件。
我们可以设 \[ u=F\left( t \right) \ \ \left( t=x^2+y^2 \right) \] 其中，\(F(t)\) 是一个待定的函数。根据我们的预设，\(u\left( x,y \right)\) 是调和函数，我们可以据此来确定出 \(u\)。有 \[ \frac{\partial u}{\partial x}=2x\cdot F'\left( t \right) ,\ \ \frac{\partial ^2u}{\partial x^2}=2F'\left( t \right) +2x\cdot F'' \left( t \right) \cdot 2x \] \[ \frac{\partial u}{\partial y}=2y\cdot F'\left( t \right) ,\ \ \frac{\partial ^2u}{\partial y^2}=2F'\left( t \right) +2y\cdot F'' \left( t \right) \cdot 2y \] 将上式带入 \(\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}=0\)，可以得到 \[ \left( x^2+y^2 \right) F'' \left( t \right) +F'\left( t \right) =0 \] 注意我们自己设立的条件：\(t=x^2+y^2\)，因此上式可以进一步化简为 \[ t\cdot F'' \left( t \right) +F'\left( t \right) =0 \]
这是个微分方程，求解一下，可以得到 \[ F\left( t \right) =C_1\ln t+C_2 \]
点此展开求解过程
这是个不显含 \(F\) 的二阶微分方程，令 \(p=F'(t)\)，则 \(p'=F''(t)\)。方程可化为 \(t\cdot p'+p=0\)，即 \(t\cdot \frac{dp}{dt}+p=0\)。
分离变量得到 \(\frac{dp}{p}=-\frac{dt}{t}\)，两边积分得到 \(\ln p=-\ln t+C_1=\ln \frac{C}{t}\)
等价于 \(p=\frac{C}{t}\) ，即 \(\frac{dF}{dt}=\frac{C}{t}\Longleftrightarrow dF=C\cdot \frac{dt}{t}\)
两边积分可得 \(F(t)=C_1\ln t+C_2\)
至此，我们得到了所需的势函数 \[ u\left( x,y \right) =C_1\ln \left( x^2+y^2 \right) +C_2 \] 不要忘了，该实变函数是解析函数的实部，我们可以用它求解出虚部，进而得到复势。
由柯西-黎曼条件可得： \[ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{2C_1x}{x^2+y^2}=\frac{\partial v}{\partial y} \] \[ \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{2C_1y}{x^2+y^2}=-\frac{\partial v}{\partial x} \] 故 \[ dv=2C_1\cdot \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2} \] 凑一下微分 \[ dv=2C_1\cdot \frac{\frac{1}{x}dy-\frac{y}{x^2}dx}{1+\left( \frac{y}{x} \right) ^2}=2C_1\cdot \frac{d\left( \frac{y}{x} \right)}{1+\left( \frac{y}{x} \right) ^2} \] 故 \[ v(x,y)=2C_1\cdot \arctan \frac{y}{x}+C_3 \]
至此，实部与虚部都求解完毕，我们可以写出解析函数了 \[ f\left( z \right) =C_1\ln \left( x^2+y^2 \right) +C_2+i\left( 2C_1\cdot \arctan \frac{y}{x}+C_3 \right) \] 等价于 \[ f\left( z \right) =2C_1\ln \left( \rho \right) +i2C_1\varphi +iC_3+C_2 \] 最终结果为 \[ f\left( z \right) =2C_1\ln \left( z \right) +C_2+iC_3 \] 至此，复势求解完成。
（ 本文也用作数学公式渲染效果测试 (｀・ω・´) ）