导数和积分运算可交换性的一些研究

发表于 2022-10-11 更新于 2022-11-07 分类于 Math Waline：本文字数： 1k 阅读时长 ≈ 4 分钟

问题引入

首先，我们考虑实变函数的情况，我们所要探究的是，下面的式子是否成立。 \[ \frac{d}{dy}\int_a^b{f\left( x,y \right) dx}=\int_a^b{\frac{\partial}{\partial y}f\left( x,y \right) dx} \tag{1} \label{1} \]

之后，我们再考虑复变函数的情况，探讨下面的式子是否成立。 \[ \frac{d}{dz}\oint_l{f\left( z \right) dz}=\oint_l{f'\left( z \right) dz} \tag{2} \label{2} \]

实变函数

我们还是从实变函数说起。实际上，$\eqref{1}$ 式在一定条件下是成立的，相关文献上给出了证明：

定理1
若函数 $f\left( x,y \right)$ 与其偏导数 $\frac{\partial }{\partial y} f\left( x,y \right)$ 都在矩形区域 $R=\left[ a,b \right] \times \left[ c,d \right]$ 上连续，则有 $ I( y ) =_a^b{f( x,y ) dx} $ 在 $ $ 上具有连续的导函数 $ I'( y ) $ ，且有 $\eqref{1}$ 式成立 .

证明
由于积分变数为 $x$，故可将 $y$ 临时看作参量。我们证明 $\eqref{1}$ 式对于任意一点 $y_0 \in \left[ c,d \right]$ 成立，设 $y_0+\varDelta y \in \left[ c,d \right]$ （若 $y_0$ 为区间端点，则只讨论单侧导数），由拉格朗日中值公式（其中的有限增量公式）可得 \[ \begin{aligned} I\left( y_0+\varDelta y \right) -I\left( y_0 \right)&=\int_a^b{\left[ f\left( x,y_0+\varDelta y \right) -f\left( x,y_0 \right) \right]}dx\\\\&=\int_a^b{f'_y\left( x,y_0+\theta \varDelta y \right) \varDelta ydx} \qquad \left( 0<\theta <1 \right) \end{aligned} \tag{3} \label{3} \] 从而，$ y $ 时，有 \[ \begin{align*} \frac{I\left( y_0+\varDelta y \right) -I\left( y_0 \right)}{\varDelta y} &=\int_a^b{f'_y\left( x,y_0+\theta \varDelta y \right) dx}\\\\&=\int_a^b{\left[ f'_y\left( x,y_0+\theta \varDelta y \right) -f'_y\left( x,y_0 \right) \right] dx} \\\\ &\ \ \ \ +\int_a^b{f'_y\left( x,y_0 \right) dx} \end{align*} \tag{4} \label{4} \] 任给 $\varepsilon >0$ ，由假定可知，$ f'_y( x,y ) $ 在闭矩形区域 $a\le x\le b,c\le y\le d$ 上连续，从而一致连续，因此，存在 $\delta>0$ ，当 $\vert \varDelta y \vert < \delta$ 时，对一切 $x \in \left(a,b\right)$ ，都有 \[ \vert f'_y\left( x,y_0+\theta \varDelta y \right) -f'_y\left( x,y_0 \right) |<\frac{\varepsilon}{b-a} \qquad \left( 0<\theta <1 \right) \tag{5} \label{5} \] 于是，当 $<|\varDelta y|<\delta$ 时，有 \[ |\frac{I\left( y_0+\varDelta y \right) -I\left( y_0 \right)}{\varDelta y}-\int_a^b{f'_y\left( x,y_0 \right) dx}|<\int_a^b{\frac{\varepsilon}{b-a}dx=\varepsilon} \tag{6} \label{6} \] 观察 $\eqref{6}$ 式最左侧与最右侧，可知，$I'( y_0 ) $ 存在且有限，且有 \[ I'\left( y_0 \right) =\int_a^b{f'_y\left( x,y_0 \right) dx} \tag{7} \label{7} \] 注意到 $y_0$ 为区域内任意一点，故 $\eqref{1}$ 式成立.

复变函数

下面，我们将思路延伸到复变函数。

（仅讨论解析函数的情况）

思路一

解析函数在解析域内一致连续
解析函数在解析域上处处可导，且沿着任意路径的导数都相等

基于上述两个性质，复变函数就可以用上述实变函数的方式讨论。

思路二

利用柯西积分公式，将解析函数写成回路积分的形式。

由于封闭回路的形状不会对积分值造成影响，不妨选取一个矩形回路，使其长和宽分别平行于实轴和虚轴。

将回路积分按照矩形路径拆开，写成四个路积分的和。

在每条拆分后的“路”上（即矩形的长或宽），复自变数 $z$ 的取值只在平行于实轴或者平行于虚轴的方向变化，每个路积分可以视为实变函数中的含参积分的情形，其求导和积分次序可交换，故四个路积分化为“先求导后积分”形式。

又由“思路一.性质2”，故四个导数值相等（设均为 $f'\left( z \right)$），再沿着路径加和，合成为完整的回路积分： \[ \int_{l_1}{f'\left( z \right) dz}+\int_{l_2}{f'\left( z \right) dz}+\int_{l_3}{f'\left( z \right)}dz+\int_{l_4}{f'\left( z \right)}dz=\oint_l{f'\left( z \right) dz} \] 这就证明了积分和求导可交换次序。