《电磁场与电磁波(第五版谢处方)》思考题答案整理

发表于 2023-05-20 更新于 2023-08-24 分类于 Circuits Waline：本文字数： 15k 阅读时长 ≈ 55 分钟

对某绿皮教材的课后思考题的解答与整理。

虽然有些考试不要求的题目暂时 PASS 掉了，内容可能没有网上其它版本全，但写下来的部分经过校对和补充，准确度大概是比其它版本的高了。

当然，也欢迎指正错误 or 提供更好的见解。

“【】”内为补充内容

第 1 章

如果 $\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{C}$，是否意味着 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$，为什么？

不是。该表达式只能说明向量 B 或者 C 在 A 上的投影的⻓度相等，B、C 本身的大小，以及他们和向量 A 的夹角都不确定。
如果 $\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{C}$，是否意味着 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$，为什么？

不是。该表达式只能说明向量 B 或者 C 在垂直于 A 的方向上的投影的长度相等，即有 $B\sin \left( a_1 \right) =C\sin \left( a_2 \right)$ ，而 B、C 本身的大小，以及他们和向量 A 的夹角都不确定。
两个矢量的点积能是负的吗？如果是，必须是什么情况？

可以是负的。当两个矢量的夹角大于 90 度而小于等于 180 度时即可。
什么是单位矢量？什么是常矢量？单位矢量是否为常矢量？

单位矢量是指长度为 1 的矢量。常矢量是指大小和方向都固定的矢量，不会随时间或空间的变化而改变。单位矢量不一定都是常矢量：在直角坐标系中，可以认为单位矢量是常矢量；但在柱面坐标系等曲面坐标系下的单位矢量不是常矢量，他们的大小和方向都随着位置的变化而变化。
在圆柱坐标系中，矢量 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{e}_{\rho} a+\boldsymbol{e}_{\phi} b+\boldsymbol{e}_z c$ ，其中 a、b、c 为常数，则 $\boldsymbol{A}$ 是常矢量吗？为什么？

不是。因为 $\boldsymbol{e}_{\rho}、\boldsymbol{e}_{\phi}、\boldsymbol{e}_z$ 的方向都在不断地变化。
在球坐标系中，矢量 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{e}_r a\cos \theta -\boldsymbol{e}_{\theta} a\sin \theta$，其中 a 为常数，则 $\boldsymbol{A}$ 能是常矢量吗？为什么？

是常矢量。我们将其变换为直角坐标系下的表达式可得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{e}_z\cdot a\left( \cos ^2\theta +\sin ^2\theta \right) =\boldsymbol{e}_z\cdot a$ ，是一个常矢量。

【通过画图、几何投影的方式也可以分析出来】

【变换式：$\left[ \begin{array}{c} A_x\\ A_y\\ A_z\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \sin \theta \cos \phi& \cos \theta \cos \phi& -\sin \phi\\ \sin \theta \sin \phi& \cos \theta \sin \phi& \cos \phi\\ \cos \theta& -\sin \theta& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} A_r\\ A_{\theta}\\ A_{\phi}\\ \end{array} \right]$】
什么是矢量场的通量？通量的值为正、负或 0 分别表示什么意义？

矢量场的通量是矢量场通过一个给定的曲面的量度，它表示场向外流过曲面的量。设 $\vec{F}$ 表示一个矢量场，$\vec{n}$ 表示一个向外的单位法向量，$d\vec{S}$ 表示一个小面元的面积矢量，则通过这个小面元的通量为 $\vec{F} \cdot d \vec{S}$。整个曲面的通量为所有小面元通量的积分：$\phi＝\iint_S\vec{F} \cdot d\vec{S}$

正的通量表示矢量场从曲面内部向外流出，负的通量表示矢量场从曲面外部向内流入，零通量表示矢量场在曲面上没有流动。
什么是散度定理？它的意义是什么？

散度定理表明矢量场的散度在任意体积 V 上的体积分等于矢量场穿出限定该体积的闭合曲面 S 的通量。散度定理的意义在于，提供了矢量的散度的体积分与该矢量在闭合曲面上的法向分量的曲面积分之间的一个变换关系。
什么是矢量场的环流？环流的值为正、负或 0 分别表示什么意义？

矢量场的环流指的是一个矢量场沿着一条封闭曲线的线积分，它描述了一个矢量场沿着一个封闭路径的旋转程度。环流可以是正的、负的或者为零。正的环流表示矢量场沿着曲线的方向旋转，负的环流表示矢量场与曲线的方向相反，零环流表示矢量场沿着曲线的方向没有旋转。
什么是斯托克斯定理？它的意义是什么？斯托克斯定理能用于闭合曲面吗？

斯托克斯定理是指“矢量场下的旋度 $\nabla \times \boldsymbol{F}$ 在曲面 $\boldsymbol{S}$ 上的面积分等于矢量场 $\boldsymbol{F}$ 在限定曲面的闭合曲线 $ $ 上的线积分”，即 $\int_S{\nabla \times}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S}=\oint_C{\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{l}}$ ，这是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲线积分之间的一个变换关系。该定理不能用于闭合曲面，因为限定该曲面的边界线不存在。
如果矢量场 $\boldsymbol{F}$ 能够表示为一个矢量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性？

由于“旋度的散度为 0 ”，故由题意得，$\boldsymbol{F}$ 的散度为 0，故 $\boldsymbol{F}$ 是无散场。
如果矢量场 $\boldsymbol{F}$ 能够表示为一个标量函数的梯度，这个矢量场具有什么特性？

由于“梯度的旋度为 0 ”，故由题意得，$\boldsymbol{F}$ 的旋度为 0，故 $\boldsymbol{F}$ 是无旋场。
只有直矢量线的矢量场一定是无旋场，这种说法对吗？为什么？

不对。如果矢量场的分布不均匀，那么其沿某些曲线的分布仍具有旋度。另外，从逆否命题的角度来看，电场线可以弯曲，但它仍然是无旋场。
无旋场与无散场的区别是什么？

无旋场通常由散度源产生，可以表示为一个标量场的梯度；无散场由通常漩涡源产生，可以表示为一个矢量场的旋度。

第 2 章

什么是自由电荷？什么是束缚电荷？自由电荷与束缚电荷有什么区别？

自由电荷是指能够自由移动的电荷，束缚电荷是指被束缚在物质或原子结构中的电荷。自由电荷可以在导体内部自由移动，而束缚电荷不能自由移动，它们通过与原子核或其他束缚电荷之间的相互作用而保持在特定位置。
研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷分布模型？有哪几种电流分布模型？它们是如何定义的？

常用的电荷分布模型有体电荷、面电荷、线电荷和点电荷；常用的电流分布模型有体电流模型、面电流模型和线电流模型，他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。
点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极子的电场强度又如何呢？

点电荷的电场强度与距离 r 的平方成反比；电偶极子的电场强度与距离 r 的立方成反比。
简述 $\nabla \cdot \boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon _0}$ 和 $\nabla \times \boldsymbol{E}=0$ 所表征的静电场特性。

表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关；静电荷是静电场的通量源；静电场是无旋场。
表述高斯定理，并说明在什么条件下应用高斯定理能够很容易地求解给定电荷分布的电场强度。

通过一个任意闭合曲面的电通量等于该面所包围的自由电荷总量与 $\varepsilon _0$ 之比，写作 $\oint_C{\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}=\frac{1}{\varepsilon _0}\int_V{\rho dV}}$。在电场（电荷）分布具有某些对称性时，利用高斯定理可以容易地求解给定电荷分布的电场强度。
简述 $\nabla \cdot \boldsymbol{B}=0$ 和 $\nabla \times \boldsymbol{B}=\mu_0 \boldsymbol{J}$ 所表征的静磁场特性。

表明穿过任意闭合面的磁感应强度的通量等于 0，磁力线是无头无尾的闭合线；恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源。
表述安培环路定理，并说明在什么条件下用该定理能够很容易地求解给定电流分布的磁感应强度。

静磁场的磁感应强度在任意闭合曲线上的环路积分等于闭合曲线交链的恒定电流的代数和与 $\mu_0$ 的乘积。当磁场分布具有平面对称性或轴对称性时，利用安培环路定理能够很容易地计算磁感应强度。
简述电场与电介质相互作用后发生的现象。

在电场作用下电介质会出现极化现象，而极化电荷又能产生附加电场。
极化强度是如何定义的？极化电荷密度与极化强度有什么关系？

单位体积内电偶极矩的矢量和称为极化强度，常用 $\boldsymbol{P}$ 表示。在电介质内部，极化电荷的体密度为 $\rho _P=-\nabla \cdot \boldsymbol{P}$ ，在电介质表面，极化电荷的面密度为 $\rho _{SP}=\boldsymbol{P}\cdot \boldsymbol{e}_n$。
电介质均匀极化与均匀电介质的极化是否有区别？

有区别。电介质的均匀极化是指电介质的电极化强度大小、方向处处相同，侧重点在电极化的方式。均匀电介质的极化强调的是电介质自身的均匀性，但其在外场中的极化不一定均匀。
均匀电介质极化后不会产生体分布的极化电荷，只能在介质的表面上出现面分布的极化电荷，这种说法对吗？试举例加以论述。

正确。均匀极化，故极化强度的散度为 0，由本章的思考题 9 里的计算式可知，极化电荷体密度为 0，而面密度不为 0 。【不知道这样解释对不对】
电位移矢量是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么？

电位移矢量是在讨论静电场中有电介质存在时电荷分布与电场强度的关系时引入的辅助矢量，其定义式为 $\boldsymbol{D}=\varepsilon _0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}$，其单位是库伦/平方米（$C/m^2$）
分别说明 $\nabla \cdot \boldsymbol{D}=\rho$、 $\nabla \cdot \boldsymbol{E}=\left( \rho +\rho _p \right) /\varepsilon _0$、 $\nabla \cdot \boldsymbol{P}=-\rho_p$，的物理含义。

电位移矢量的通量源是自由电荷；空间中的电场强度由自由电荷和极化电荷共同决定；电极化强度的通量源是极化电荷。
静电场的基本方程 $\nabla \cdot \boldsymbol{D}=\rho$ 表明电位移矢量（$\boldsymbol{D}$）线只起始或终止于自由电荷，因此电位移矢量 $\boldsymbol{D}$ 与极化电荷无关，这种说法对吗？

不正确，虽然电位移矢量的散度和通量都只与自由电荷有关，但实际上电位移矢量是由自由电荷和极化电荷共同产生的电场强度矢量以及极化强度矢量共同决定的。
简述磁场与磁介质相互作用发生的物理现象。

在磁场与磁介质相互作用时，外磁场使磁介质中的分子磁矩沿外磁场取向，磁介质被磁化，被磁化的介质要产生附加磁场，从而使原来的磁场分布发生变化。
磁化强度是如何定义的？磁化电流密度与磁化强度有什么关系？

单位体积内分子磁矩的矢量和称为磁化强度，常用 $\boldsymbol{M}$ 表示；磁化体电流密度与磁化强度关系为：$\boldsymbol{J}_{\boldsymbol{M}}=\nabla \times \boldsymbol{M}$；磁化面电流密度与磁化强度的关系为：$\boldsymbol{J}_{\boldsymbol{SM}}=\boldsymbol{M}\times \boldsymbol{e}_n$。
磁场强度是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么？

磁场强度定义为 $\boldsymbol{H}=\frac{\boldsymbol{B}}{\mu _0}-\boldsymbol{M}$，单位是安培/米(A/m)。
均匀媒质与非均匀媒质、线性媒质与非线性媒质、各向同性与各向异性媒质的含义是什么？

均匀媒质是指介电常数或磁介质磁导率处处相等，不是空间坐标的函数的媒质。非均匀媒质是指介电常数或磁介质的磁导率是空间坐标的标量函数的媒质。线性媒质是指在电磁场作用下，媒质的响应与激励之间遵循线性关系的媒质；非线性媒质的响应与激励之间存在非线性关系。各向同性媒质是指具有相同的物理性质和特征在所有方向上都是相同的媒质，而各向异性媒质的性质则随着方向的改变而不同。
什么是时变电磁场？时变电磁场与静态电磁场有什么不同的特点？

随时间变化的电场产生磁场，随时间变化的磁场产生电场，电场和磁场互相激励，构成时变电磁场。静态场由静止电荷、恒定电流产生，而时变场由时变的电荷、电流产生；静态场中电场和磁场相互独立，时变场中电场和磁场相互关联。
试从产生的原因、存在的区域以及引起的效应等方面比较传导电流和位移电流。

传导电流位移电流

产生的原因运动的电荷时变电场

存在的区域导体中含有变化的电场的区域

引起的效应热效应、磁效应磁效应
写出微分形式、积分形式的麦克斯韦方程组，并简要阐述其物理意义。

微分形式：$\left\{ \begin{array}{l} \nabla \times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\\ \nabla \times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\\ \nabla \cdot \boldsymbol{D}=\rho\\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0\\ \end{array} \right.$

积分形式：$\left\{ \begin{array}{l} \oint_C{\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}=-\int_S{\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot d\boldsymbol{S}}}\\ \oint_C{\boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{l}=\int_S{\boldsymbol{J}\cdot d\boldsymbol{S}}+\int_S{\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\cdot d\boldsymbol{S}}}\\ \oint_S{\boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}}=\int_V{\rho dV}\\ \oint_S{\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}}=0\\ \end{array} \right.$

磁场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲面的传导电流与位移电流之和；电场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意一曲面的磁通量变化率的负值；穿过任意闭合曲面的磁感应强度的通量恒等于 0；穿过任意闭合曲面的电位移的通量等于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和。时变磁场不仅由传导电流产生，也由位移电流产生。位移电流代表电位移的变化率，因此该式揭示的是时变电场产生时变磁场；时变磁场产生时变电场；磁通是连续的，磁场是无散度场；电位移矢量从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。

【 还需要写上本构关系：$\left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{D}=\varepsilon \boldsymbol{E}\\ \boldsymbol{B}=\mu \boldsymbol{H}\\ \boldsymbol{J}=\sigma \boldsymbol{E}\\ \end{array} \right.$ 】
麦克斯韦方程组的 4 个方程是相互独立的吗？试简要解释。

在静态场的情况下，4 个方程相互独立；在时变场的情况下， 4 个方程则相互关联。例如，$\nabla \times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}$ 表示变化的磁场能产生电场，而 $\nabla \times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}$ 表示变化的电场会产生磁场，电场和磁场相互关联。
电流连续性方程能由麦克斯韦方程组导出吗？如果能，试推导之；若不能，说明原因。

可以。对 $\nabla \times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}$ 左右两边同取散度，由于左侧“旋度的散度等于 0 ”，因此可得 $\nabla \cdot \left( \boldsymbol{J}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \right) =0$ ，即为电流连续性方程。
什么是电磁场的边界条件？在理想介质分界面上，电磁场具有什么边界条件？在理想导体表面上，电磁场具有什么边界条件？

在不同媒质分界面上两侧的电磁场量所满足的关系称为电磁场的边界条件。

边界条件的一般形式为：$\left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{e}_n\times \left( \boldsymbol{H}_1-\boldsymbol{H}_2 \right) =\boldsymbol{J}_S\\ \boldsymbol{e}_n\times \left( \boldsymbol{E}_1-\boldsymbol{E}_2 \right) =0\\ \boldsymbol{e}_n\cdot \left( \boldsymbol{B}_1-\boldsymbol{B}_2 \right) =0\\ \boldsymbol{e}_n\cdot \left( \boldsymbol{D}_1-\boldsymbol{D}_2 \right) =\rho _s\\ \end{array} \right.$

$\boldsymbol{J}_s$ 为面电流密度（两种媒质的电导率均有限时取 0）；$\rho_s$ 为自由电荷密度；$\boldsymbol{e}_n$ 从媒质 2 指向媒质 1。

对于理想介质（媒质2），把上式中的 $\boldsymbol{J}_s$ 和 $\rho_s$ 都取 0 即可；

对于理想导体（媒质2），其内部不存在电场、电通量，不存在时变的磁感应强度、磁场，把上式中 $H_2、E_2、B_2、D_2$ 都取 0 即可。
【补充】点电荷的严格定义是什么？

点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很的带电小球的极限。当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中心上。即将带电体抽离为一个几何点模型，称为点电荷。

	传导电流	位移电流
产生的原因	运动的电荷	时变电场
存在的区域	导体中	含有变化的电场的区域
引起的效应	热效应、磁效应	磁效应

第 3 章

电位是如何定义的？$\boldsymbol{E}=-\nabla \varphi$ 中的负号的意义是什么？

由静电场基本方程 $\nabla \times \boldsymbol{E} = 0$ 以及 $\nabla \times \nabla u = 0$ 可知，电场强度矢量可以表示为一个标量函数的梯度，则该标量函数称为静电场的电位函数，简称电位。负号表示场强方向与该点电位梯度的方向相反。
“如果空间某一点的电位为零，则该点的电场强度也为零”，这种说法正确吗？为什么？

不正确。电场强度是电位随空间位置的变化率，某一点处电位为 0 ，但其随位置的变化率可以不为 0。
“如果空间某一点的电场强度为零，则该点的电位为零”，这种说法正确吗？为什么？

不正确。讨论电势需要规定电势零点，电位等于场强到电势零点的曲线积分。某点处的场强为 0 ，但在积分路径上的场强可以不为 0 ，故电位不一定为 0 。
求解电位函数的泊松方程或拉普拉斯方程时，边界条件有何意义？

边界条件起到给方程定解的作用。
电容是如何定义的？写出计算电容的基本步骤。

两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比。基本计算步骤：1、根据导体的几何形状，选取合适坐标系。2、假定两导体上分别带电荷 +q 和 -q 。3、根据假定电荷求出电场强度 E。4、由电场强度求得电位差。5、求出电荷与电位差的比值
多导体系统的部分电容是如何定义的？试以考虑地面影响时的平行双导线为例，说明部分电容与等效电容的含义。

PASS。
计算静电场能量的公式 $W_e=\frac{1}{2}\int_V{\rho \varphi dV}$ 和 $W_e=\frac{1}{2}\int_V{\boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{D}dV}$ 之间有何联系？在什么条件下二者是一致的？

将 $\rho = \nabla \cdot \boldsymbol{D}$ 代入第一个式子，并结合矢量公式和高斯散度定理，可以推导出第二个式子。当电荷分布在有限区域内，闭合面 S 无限扩大时，有限区内的电荷可近似为点电荷时，二者是一致的。
什么叫广义坐标和广义力？你了解虚位移的含义吗？

PASS。
恒定电场基本方程的微分形式所表征的恒定电场性质是什么？

电荷是产生恒定电场的源；恒定电场是保守场；恒定电流是闭合曲线。【P128】
恒定电场与静电场比拟的理论根据是什么？静电比拟的条件又是什么？

理论依据是唯一性定理，静电比拟的条件是两种场的电位都是拉普拉斯方程的解且边界条件相同。
什么是矢量磁位 $\boldsymbol{A}$ 和标量磁位 $\varphi_m$？简要叙述在恒定磁场分析中引入 $\boldsymbol{A}$ 和 $\varphi_m$ 的优点。

磁场是无散场，故磁感应强度 $\boldsymbol{B}$ 可以表示为一个矢量函数的旋度，该矢量函数 $\boldsymbol{A}$ 即为矢量磁位。当研究的空间不存在自由电流时，磁场强度 $\boldsymbol{H}$ 的旋度为 0 ，故可以被一个标量函数的梯度表示，该标量函数则成为恒定磁场的标量磁位。有利于根据不同的给定条件灵活地求解磁场分布的问题，引入矢量磁位和标量磁位还可以和恒定电场进行比拟，使求解更加方便。
如何定义电感？你会计算平行双线、同轴线的电感吗？

PASS
写出用磁场矢量 $\boldsymbol{B}$、$\boldsymbol{H}$ 表示的计算磁场能量的公式。

计算式：$W_m=\frac{1}{2}\int_V{\boldsymbol{H}\cdot \boldsymbol{B}dV}$
在保持磁链不变的条件下，如何计算磁场力？若是保持电流不变，又如何计算磁场力呢？两种条件下得到的结果是相同的吗？

PASS。结果相同。
什么是静态场的边值问题？用文字叙述第一类、第二类及第三类边值问题。

静态场的边值型问题是指已知场量在场域边界上的值，求场域内的均匀分布问题。第一类边值问题：已知位函数在场域边界面 $S$ 上各点的值。第二类边值问题：已知位函数在场域边界面 $S$ 上各点的法向导数值。第三类边值问题：已知一部分边界面 $S_1$ 上位函数的值，而在另一部分边界 $S_2$ 上已知位函数的法向导数值。
用文字叙述静态场解的唯一性定理，并简要说明它的重要意义。

在场域 V 的边界面 S 上给定位函数的值或者其法向导数的值，则该位函数的泊松方程或拉普拉斯方程在场域 V 内有唯一的解。它指出了静态场边值问题具有唯一解的条件，为静态场值问题的各种求解方法提供了理论依据，为求解结果的正确性提供了判据。
什么是镜像法？其理论根据是什么？

镜像法是在求解的场域之外使用简单的电荷分布来替代导体表面的感应电荷，将边值问题转化为均匀无界空间内的问题的方法。其依据是唯一性定理。
如何正确确定镜像电荷的分布？

所有镜像电荷必须位于所求场域以外的空间中；镜像电荷的个数，位置及电荷量的大小以满足场域边界面上的边界条件来确定。
什么是分离变量法？在什么条件下，它对求解位函数的拉普拉斯方程有用？

分离变量法是把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，每个未知函数仅是一个坐标变量函数，通过分离变量，把原偏微分方程分离为几个常微分方程并求解，最后代入边界条件求定解的方法。适用于所求场域边界面与某一正交曲面坐标系的坐标面重合的情况。
在直角坐标系的分离变量法中，分离常数 k 可以是虚数吗？为什么？

不可以，k 若为虚数则为无意义的解。

第 4 章

在时变电磁场中是如何引入动态位 $\boldsymbol{A}$ 和 $\varphi$ 的？ $\boldsymbol{A}$ 和 $\varphi$ 不唯一的原因何在？

根据麦克斯韦方程和引入矢量位 $\boldsymbol{A}$ 和标量位 $\varphi$，使得 $\boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A}$，$\boldsymbol{E}+\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}=-\nabla \varphi$。不唯一的原因在于确定一个矢量场需同时规定该矢量场的散度和旋度，而我们只规定了其旋度，没有规定其散度。
什么是洛伦兹条件？为何要引入洛伦兹条件？在洛伦兹条件下， $\boldsymbol{A}$ 和 $\varphi$ 满足什么方程？

洛伦兹条件规定了矢量位 $\boldsymbol{A}$ 的散度，满足：$\nabla \cdot \boldsymbol{A}=-\mu \varepsilon \frac{\partial \varphi}{\partial t}$。

引入洛仑兹条件不仅可得到唯一的 $\boldsymbol{A}$ 和 $\varphi$ ，同时还可使问题的求解得以简化。在洛仑兹条件下，$\boldsymbol{A}$ 和 $\varphi$ 满足的方程为达朗贝尔方程：$\left\{ \begin{array}{l} \nabla ^2\boldsymbol{A}-\mu \varepsilon \frac{\partial ^2\boldsymbol{A}}{\partial t^2}=-\mu \boldsymbol{J}\\ \nabla ^2\varphi -\mu \varepsilon \frac{\partial ^2\varphi}{\partial t^2}=-\frac{\rho}{\varepsilon}\\ \end{array} \right.$

【库伦规范是规定了 $\nabla\cdot \boldsymbol{A} = 0$ 】

【库伦规范下的达朗贝尔方程：$\left\{ \begin{array}{l} \nabla ^2\boldsymbol{A}-\mu \varepsilon \left( \frac{\partial ^2\boldsymbol{A}}{\partial t^2}+\frac{\partial}{\partial t}\nabla \varphi \right) =-\mu \boldsymbol{J}\\ \nabla ^2\varphi =-\frac{\rho}{\varepsilon}\\ \end{array} \right.$ 】
坡印廷矢量是如何定义的？它的物理意义是什么？

坡印廷矢量是电磁能流密度矢量，常用符号 $\boldsymbol{S}$ 表示，单位为瓦/平方米。其方向表示能量的流动方向，大小表示单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位面积的能量。

【$\boldsymbol{S} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}$】
什么是坡印廷定理？它的物理意义是什么？

坡印廷定理是指单位时间内体积 V 中减少的电磁能量等于单位时间内电磁场对体积 V 中电荷做的功加上单位时间内通过曲面 S 从体积 V 中流出的电磁能量，它描述了电磁能量守恒的关系。

【写作：$-\frac{d}{dt}\int_V{wdV=\int_V{\boldsymbol{J}\cdot \boldsymbol{E}dV+\oint_S{\boldsymbol{S}\cdot d\boldsymbol{S}}}}$，其中 $w=\frac{1}{2}\boldsymbol{H}\cdot \boldsymbol{B}+\frac{1}{2}\boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{D}$】
什么是时变电磁场的唯一性定理？它有何重要意义？

时变电磁场的唯一性定理：在以闭合曲面 S 为边界的有界区域 V 内，如果给定 t=0时刻的电场强度 E 和磁场强度 H 的初始值，并且在 t 大于或等于 0 时，给定边界面S 上的电场强度 E 的切向分量或磁场强度 H 的切向分量，那么，在 t 大于 0 时，区域 V 内的电磁场由麦克斯韦方程唯一地确定。它指出了获得唯一解所必须满足的条件，为电磁场问题的求解提供了理论依据。
什么是时谐电磁场？研究时谐电磁场有何意义？

以一定角频率作时谐变化的电磁场称为时谐电磁场。由于任意时变场在一定的条件下都可以通过傅里叶分析法展开为不同频率的时谐场的叠加，所以对时谐场的研究有重要意义。
时谐电磁场的复矢量是如何定义的？它与瞬时场矢量之间是什么关系？

复矢量定义为：$\boldsymbol{\dot{F}}_m\left( \boldsymbol{r} \right) =F_m\left( \boldsymbol{r} \right) e^{j\phi \left( \boldsymbol{r} \right)}$，其中 $F_m$ 为振幅，$\phi(\boldsymbol{r})$ 是与时间无关的空间相位。瞬时矢量与其关系为 $\boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{r,}t \right) =\text{Re}\left[ \boldsymbol{\dot{F}}_m\left( \boldsymbol{r} \right) e^{j\omega t} \right]$。
时谐电磁场的复矢量是真实的场矢量吗？引入复矢量的意义何在？

复矢量并不是真实的场矢量，真实的场矢量是与之相应的瞬时矢量。引入复矢量的意义在于在频率相同的时谐场中可很容易看出瞬时矢量场的空间分布并简化运算。
时谐场的平均坡印廷矢量是如何定义的？如何由复矢量计算平均坡印廷矢量？

时谐场中，平均坡印廷矢量为一个周期内瞬时坡印廷矢量的平均值，用 $\boldsymbol{S}_{av}$ 表示。

计算式：$\boldsymbol{S}_{av}=\frac{1}{2}\text{Re}\left[ \boldsymbol{E}\times \boldsymbol{H}^* \right]$

【复坡印廷矢量的定义为：$\boldsymbol{S}_{c}=\frac{1}{2}\boldsymbol{E}\times \boldsymbol{H}^*$，故 $\boldsymbol{S}_{av}=\text{Re}\boldsymbol{S}_c$】
时谐场的瞬时坡印廷矢量与平均坡印廷矢量有何关系？是否有 $\boldsymbol{S}\left( \boldsymbol{r,}t \right) =\text{Re}\left[ \boldsymbol{S}_{av}\left( \boldsymbol{r} \right) e^{j\omega t} \right]$ ?

关系为：$\boldsymbol{S}\left( \boldsymbol{r,}t \right) =\boldsymbol{S}_{av}+\frac{1}{2}\text{Re}\left[ \boldsymbol{E}\times \boldsymbol{H}e^{j2\omega t} \right]$。不满足题设关系

【这种写法有点类似于拿着正弦波的有效值去当振幅项，差了根号 2 （该答案不确定）】
试写出复数形式的麦克斯韦方程组。它与瞬时形式的麦克斯韦方程组有何区别？

复数形式的麦克斯韦方程组：$\left\{ \begin{array}{l} \nabla \times \boldsymbol{E}=-j\omega \boldsymbol{B}\\ \nabla \times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}+j\omega \boldsymbol{D}\\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0\\ \nabla \cdot \boldsymbol{D}=\rho\\ \end{array} \right.$

两者对照，复数形式的麦克斯韦方程组没有与时间相关的项。
复介电常数的虚部描述了介质的什么特性？如果不用复介电常数，如何表示介质的损耗？

它描述了电介质的极化存在的极化损耗和欧姆损耗，可用损耗角的正切来表征电介质的损耗特性。
如何解释复数形式的坡印廷定理中各项的物理意义？

书本 P218。

第 5 章

什么是均匀平面波？平面波与均匀平面波有何区别？

均匀平面波指电磁场的场矢量只沿它的传播方向变化，在与波传播方向垂直的无限大平面内，电场强度E和磁场强度H的方向、振幅和相位都保持不变。【E、H 只是坐标变量 z 的函数而与坐标变量 x、y 无关】

平面波和均匀平面波的区别在于均匀平面波具有相同频率、波长和振幅的电场和磁场，而平面波可以具有不同的频率、波长和振幅的电场和磁场。另外，均匀平面波的传播方向与电场和磁场方向都垂直于波前平面，而平面波的传播方向可以与电场和磁场方向不同。均匀平面波是平面波的一种特殊情况。
波数是怎样定义的？它与波长有什么关系？

在2π的空间距离内所包含的波长数，称为波数，通常用 k 表示。k=2π/λ。
什么是媒质的本征阻抗？自由空间中本征阻抗的值为多少？

电场的振幅与磁场的振幅之比，具有阻抗的量纲，故称为波阻抗，通常用 η 表示，由于 η 的值与媒质参数有关，因此又称为媒质的本征阻抗。自由空间中本征阻抗值120π（约377）欧。
电磁波的相速是如何定义的？自由空间中相速的值约为多少？

电磁波的等相位面在空间中的移动速度称为相位速度，简称相速。在自由空间中相速的值为 $3\times 10^8 m/s$
在理想介质中均匀平面波的相速是否与频率有关？

在理想介质中，均匀平面波的相速与频率无关，但与介质参数有关。$v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu }}$。
在理想介质中，均匀平面波有哪些特点？

电场强度 $E$，磁场强度 $H$ 与传播方向 $e_z$ 之间互相垂直，电磁波是横电磁波（TEM波）；电场与磁场的振幅不变；波阻抗为实数，电场与磁场同相位；电磁波的相速和频率无关；电场能量密度等于磁场能量密度。
在导电媒质中，均匀平面波的相速与频率是否有关？

在导电媒质中，均匀平面波的相速与频率有关，在同一种导电煤质中，不同频率的电磁波的相速是不同的。由于 $v_p = \frac{\omega}{\beta}$，其中 $\beta$ 与电磁波的频率不是线性关系，因此电磁波的相速是频率的函数。
在导电媒质中，均匀平面波的电场与磁场是否同相位？

不相同，因为在导电媒质中，其本征阻抗 $\eta _c=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon _c}}=\left| \eta _c \right|e^{j\phi}$ 为一个复数，磁场的相位比电场落后 $\phi$。
在导电媒质中，均匀平面波具有哪些特点？

电场强度 $E$，磁场强度 $H$ 与传播方向 $e_z$ 之间互相垂直，电磁波是横电磁波（TEM波）；电场与磁场的振幅呈指数衰减；波阻抗为复数，电场与磁场不同相位；电磁波的相速和频率有关；平均磁场能量密度大于平均电场能量密度。
趋肤深度是如何定义的？它和衰减常数有何关系？

表征电磁波的趋肤程度定义为电磁波幅值衰减为表面值的1/e（0.386）时电磁波所传播的距离。趋肤深度 δ=1/α，α 为衰减常数。
什么是良导体？它和普通导体有何不同？

良导体指 $σ/(ωε)\gg 1$ 的媒质。在良导体中，传导电流起主要作用，位移电流的影响很小，可以忽略。
什么是波的极化？什么是线极化、圆极化和椭圆极化？

由于电磁波的分量振幅和相位不一定相同，因此在空间任意一点上，合成波电场矢量 E 的大小和方向会随时间变化，这种现象叫电磁波的极化。电场强度矢量端点轨迹为直线时，称为直线极化波，为圆时称为圆极化波，为椭圆时称为椭圆极化波。
两个互相垂直的线极化波叠加，在什么情况下，分别是：线极化波、圆极化波、椭圆极化波？

电场的 x 分量和 y 分量相位相同或相差π时为直线极化波；电场的x分量和y分量振幅相等、相差π/2 时为圆极化波；电场的两个分量相差不是 0、±π 和 ±π/2，或者相差为 ±π/2 但振幅不相等，合成波为椭圆极化波。
知道圆极化波是左旋还是右旋有何意义？如何判断圆极化波是左旋还还是右旋？

知道圆极化波是左旋还是右旋对于使用偏振器来控制光的偏振态、以及使用电磁场理论解释旋光现象或是量子自旋都具有重要意义。

以左手大拇指朝向波的传播方向，其余四指的转向与电场E的端点方向一致，则为左旋极化波；以右手大拇指朝向波的传播方向，其余四指的转向与电场E的端点方向一致，则为右旋极化波。
什么是群速？它和相速有何区别？

群速是包络波上任一恒定相位点的推进速度；相速是电磁波恒定相位点的推进速度（等相位面在空间中移动的速度）。相速无法描述由多频率成分组成的信号在色散媒质中的传播速度，而群速则可以描述这样的波包的传播速度。

【群速和相速的关系：$v_g=\frac{v_p}{1-\frac{\omega}{v_p}\frac{dv_p}{d\omega}}$】
什么是波的色散？何谓正常色散？何谓反常色散？

电磁波的相速随频率改变的现象称为色散。当 $\frac{dv_p}{d\omega}<0$ ，即相速随着频率升高而减小，此时 νg<νp，即群速小于相速，称为正常色散。当 $\frac{dv_p}{d\omega}>0$ ，即相速随着频率升高而增加，此时 νg > νp，即群速大于相速，称为反常色散。【 vg = vp 时无色散】
什么是法拉第旋转效应？产生的原因是什么？

PASS。【来源：chatgpt】

法拉第旋转效应是指当偏振光通过一些物质，如磁性材料或光活性物质时，其偏振面会被旋转的现象。该效应是由法拉第效应和狄楞-法拉第效应的结合作用所引起的。

法拉第效应是指当光线通过具有磁场的介质时，光的偏振面会发生旋转的现象。这种旋转是由磁场对光中的电荷产生的磁力所引起的。磁场的存在会使光中的电荷受到力的作用，导致光的传播方向发生微小的改变，从而使光的偏振面旋转。

狄楞-法拉第效应是指当光线通过具有非零电荷密度的物质时，光的偏振面会发生旋转的现象。这种旋转是由光在物质中传播时与物质中的电荷相互作用所引起的。光中的电场与物质中的电荷之间相互作用，导致光的偏振面发生旋转。

法拉第旋转效应的产生是由于磁场和电荷对光的相互作用所引起的。具体来说，当偏振光通过具有磁场和非零电荷密度的物质时，磁场和电荷对光中的电场产生作用力，导致光的偏振面发生旋转。旋转角度的大小取决于物质中的磁场强度、电荷密度以及光的频率和波长等因素。

法拉第旋转效应在光学、磁学和材料科学等领域有重要的应用，例如用于测量磁场强度、材料的光学性质研究以及光学通信中的光偏振控制等。
直线极化波能否在磁化等离子体中传播？

PASS。【来源：chatgpt】

直线极化波可以在磁化等离子体中传播，但其传播特性会受到磁化等离子体的影响。

磁化等离子体是由带电粒子（如电子和离子）组成的气体，受外部磁场的影响而形成的。在磁化等离子体中，带电粒子的运动会受到磁场力的制约，从而影响电磁波的传播。

当直线极化波通过磁化等离子体时，由于等离子体中的电磁性质和带电粒子的相互作用，直线极化波的传播速度和传播方向可能会发生改变。此外，磁化等离子体中的等离子振荡和磁化效应也可能导致直线极化波的吸收、散射和折射等现象。

因此，虽然直线极化波可以在磁化等离子体中传播，但其传播特性会与在普通介质中的传播有所不同。磁化等离子体中的复杂相互作用需要通过具体的理论和实验研究来深入了解。

第 6 章

试述反射系数和透射系数的定义，他们之间存在什么关系？

反射波电场振幅 $E_{rm}$ 与入射波电场振幅 $E_{im}$ 的比值为分界面上反射系数，用 $\varGamma$ 表示；透射波电场振幅 $E_{tm}$ 与入射波电场振幅 $E_{im} $ 的比值为分界面上透射系数，用 $\tau$ 表示；$1 + \varGamma = \tau$。
什么是驻波？它和行波有何区别？

合成波在空间中没有移动，只是在原来的位置振动，这种波称为驻波。行波在传播过程中，合成波沿波传播方向移动；驻波不发生电磁能量的传输，仅在两个波节之间进行电场和磁场能量的交换，而行波发生电磁能量传输（平均坡印廷矢量不为 0）。
均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界面时，在什么情况下，反射系数大于0？在什么情况下，反射系数小于0？

η2 > η1 时，反射系数 Γ > 0；η2 < η1 时，反射系数 Γ< 0。
均匀平面波向理想导体表面垂直入射时，理想导体外面的合成波有什么特点？

电场强度按正弦规律变化，磁场强度按余弦规律变化；合成波为驻波，不发生电磁能量传输。在 $z=-\frac{n\lambda _1}{2}$ 处为电场的波节点，振幅始终为 0，在为 $z=-\frac{\left( 2n+1 \right) \lambda _1}{4}$ 处为电场波腹点，振幅最大；磁场波节点是电场的波腹点，磁场的波腹点是电场的波节点。E 和 H 的驻波在空间位置上错开 $\frac{\lambda _1}{4}$，时间上错开 $\frac{\pi}{2}$ 的相移。
均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界面，在什么情况下，分界面上的合成波电场为最大值？在什么情况下，分界面上的合成波电场为最小值？

当 $\varGamma >0$，即 $\eta _2>\eta _1$ 时，在 $z=-\frac{n\lambda _1}{2}$ 处合成波的电场振幅最大，振幅为 $\left| \overrightarrow{E}_1\left( z \right) \right|_{\max}=E_{im}\left( 1+\varGamma \right)$ ;在 $z=-\frac{\left( 2n+1 \right) \lambda _1}{4}$ 处合成波的电场振幅最小，振幅为 $\left| \overrightarrow{E}_1\left( z \right) \right|_{\min}=E_{im}\left( 1-\varGamma \right)$。

当 $\varGamma <0$，即 $\eta _2<\eta _1$ 时，情况与上述相反，在 $z=-\frac{\left( 2n+1 \right) \lambda _1}{4}$ 处合成波的电场振幅最大，振幅为 $\left| \overrightarrow{E}_1\left( z \right) \right|_{\max}=E_{im}\left( 1-\varGamma \right)$ ;在 $z=-\frac{n\lambda _1}{2}$ 处合成波的电场振幅最小，振幅为 $\left| \overrightarrow{E}_1\left( z \right) \right|_{\min}=E_{im}\left( 1+\varGamma \right)$。
一个右旋极化波垂直入射到两种媒质分界面上，其反射波是什么极化波？

沿相反方向传播的一个左旋极化波。【P269例题】
试述驻波比的定义，它和反射系数之间有何关系？

驻波比是指合成波的电场强度的最大值和最小值之比。驻波比常用 S 表示，满足：$S=\frac{1+\left| \varGamma \right|}{1-\left| \varGamma \right|}$。
什么是波阻抗？什么情况下波阻抗等于媒质的本征阻抗？

媒质中任意一点的合成波电场横向分量与合成波磁场横向分量的比值称为波阻抗，$Z=\frac{E_x}{H_y}$ 或 $Z=-\frac{E_y}{H_x}$；媒质中传输 TEM 波的时候波阻抗等于媒质的本征阻抗。【因为波在介质中传播时，如果波是平面波，那么E/H就是固定的，和频率无关。这时候的波阻抗就是介质的本征阻抗。(另外 P280 有提到，存在反射时，波阻抗不等于本征阻抗)。本征阻抗定义在 P229，它由媒质自身的参数（μ、epsilon）决定。】
什么是相位匹配条件？

在分界面上由电场的切向分量连续，可以得到：$k_1\sin \theta _r=k_1\sin \theta _i=k_2\sin \theta _t$，称为相位匹配条件。
什么是反射定律和折射定律？

反射定律（斯耐尔反射定律）：反射角等于入射角，$\theta_r=\theta_i$；折射定律（斯耐尔折射定律）: $\frac{\sin \theta _t}{\sin \theta _i}=\frac{k_1}{k_2}=\frac{n_1}{n_2}$。
什么是入射平面？什么是垂直极化入射波？什么是平行极化入射波？

入射波的波矢量和分界面法线矢量构成的平面为入射平面。若入射波电场垂直于入射平面，则称为垂直极化波；若入射波电场平行于入射平面，则称为平行极化波。
什么是全反射现象？在什么情况下会发生全反射现象？如何计算全反射的临界角？

均匀平面波斜入射到两种理想介质分界面时，反射系数的幅值等于 1 的电磁现象成为全反射。【透射波完全平行于分界面传输】。当 $n_1 > n_2$，即电磁波从光密介质射向光疏介质，且入射角大于临界角时会发生全反射现象。临界角的计算公式为：$\theta _c=\arcsin \left( \frac{n_2}{n_1} \right) \xlongequal{\text{非磁性介质}}\arcsin \left( \sqrt{\frac{\varepsilon _2}{\varepsilon _1}} \right)$ 。
发生全反射时，透射媒质中是否存在电磁波？其特征是什么？

仍然存在电磁波，它沿分界面方向传播，但振幅沿垂直于分界面的方向上按指数规律衰减，因此透射波主要存在于分界面附近，称这种波为表面波。
什么是全透射现象？什么情况下会发生全透射现象？如何计算布儒斯特角？

当平面波从媒质 1 入射到媒质 2 时，若反射系数等于 0，则电磁功率全部透射到媒质 2，称为全透射。入射角为布儒斯特角时发生全透射。布儒斯特角（非磁性媒质）：$\theta _b=\arcsin \left( \sqrt{\frac{\varepsilon _2}{\varepsilon _1+\varepsilon _2}} \right) =\arctan \left( \sqrt{\frac{\varepsilon _2}{\varepsilon _1}} \right)$ 。
什么是表面波？在什么情况下均匀平面波透过媒质分界面后会成为表面波？

沿分界面方向传播，振幅沿垂直分界面的方向上指数衰减，主要存在于分界面附近的波叫表面波。当均匀平面波透过媒质发生全反射时，透射波会成为表面波。
圆极化波以布儒斯特角入射到两种非磁性媒质分界面上时，其反射波和透射波分别是什么极化波？

反射波是垂直极化波，透射波是平行极化波。【书本 P294，一个任意极化电磁波，以布儒斯特角入射到两种非磁性媒质分界面，它的平行极化分量全部透射，反射波就只剩下垂直极化波，起到一种极化分离的作用。】
平行极化波斜入射到理想导体表面上时，理想导体外面的合成波具有什么特点？

合成波沿平行于分界面的方向（x 方向）传播，其相速为 $v_{px}=\frac{\omega}{k_{ix}}=\frac{v_p}{\sin \theta _i}$ ；合成波振幅在垂直于导体表面的方向（z 方向）呈驻波状态，而且合成波磁场在 $z=-\frac{n\pi}{k\cos \theta _i}\ \left( n=0,1,2... \right)$ 处达到最大值；合成波是非均匀平面波；在波的传播方向上不存在磁场分量，但存在电场分量，是横磁波（TM 波）。
垂直极化波斜入射到理想导体表面上时，理想导体外面的合成波具有什么特点？

合成波沿平行于分界面的方向（x 方向）传播，其相速为 $v_{px}=\frac{\omega}{k_{ix}}=\frac{v_p}{\sin \theta _i}$ ；合成波振幅在垂直于导体表面的方向（z 方向）呈驻波状态，而且合成波电场在 $z=-\frac{n\pi}{k\cos \theta _i}\ \left( n=0,1,2... \right)$ 处为 0；合成波是非均匀平面波；在波的传播方向上不存在电场分量，但存在磁场分量，是横电波（TE 波）。

第 7 章

什么是导波系统？什么是均匀导波系统？

导波系统是引导电磁波沿一定方向传播的装置。在空间上各项性质均匀的导波系统称为均匀导波系统：波导是无限长的规则直波导，其横截面形状可以任意，但沿轴向处处相同。波导内壁是理想导体。波导内填充均匀】线性、各向同性无耗媒质，其参数 $\varepsilon、\mu、\eta$ 均为实常数；波导内无源。
写出均匀导波系统中的纵向场分量与横向场分量的关系？

【纵向指的是 z 方向，横向指的是垂直于 z 的方向】

关系如下：

$\left\{ \begin{array}{l} H_x=-\frac{1}{k_{c}^{2}}\left( \gamma \frac{\partial H_z}{\partial x}-j\omega \varepsilon \frac{\partial E_z}{\partial y} \right)\\ H_y=-\frac{1}{k_{c}^{2}}\left( \gamma \frac{\partial H_z}{\partial y}+j\omega \varepsilon \frac{\partial E_z}{\partial x} \right)\\ E_x=-\frac{1}{k_{c}^{2}}\left( \gamma \frac{\partial E_z}{\partial x}+j\omega \mu \frac{\partial H_z}{\partial y} \right)\\ E_y=-\frac{1}{k_{c}^{2}}\left( \gamma \frac{\partial E_z}{\partial y}-j\omega \mu \frac{\partial H_z}{\partial x} \right)\\ \end{array} \right.$

其中， $\gamma$ 为传播参数，表征导波系统中电磁场的传播特性；$k_c$ 是截止波数，$k_c^2=\gamma ^2+k^2$ ，$k=\omega \sqrt{\mu \varepsilon}$。
写出矩形波导中纵向场分量 $E_z$、$H_z$ 满足的方程和边界条件？

【矩形波导是空心波导，故不能传播 TEM 波；对于 TM 波，波导内的电磁场量由纵向电场决定；对于 TE 波，波导内的电磁场量由纵向磁场决定】

电场：

$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{c} \frac{\partial E_{z}^{2}}{\partial x^2}+\frac{\partial E_{z}^{2}}{\partial y^2}+\frac{\partial E_{z}^{2}}{\partial z}+k^2E_z=0\\ \left. E_z \right|_{x=0}=0,\left. E_z \right|_{x=a}=0\\ \left. E_z \right|_{y=0}=0,\left. E_z \right|_{y=b}=0\\ \end{array} \right.\\ \end{aligned}$

磁场：

$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{c} \frac{\partial ^2H_z}{\partial x}+\frac{\partial ^2H_z}{\partial y}+k_c^2H_z=0\\ \left. \frac{\partial H_z}{\partial x} \right|_{x=0}=0,\left. \frac{\partial H_z}{\partial x} \right|_{x=a}=0\\ \left. \frac{\partial H_Z}{\partial y} \right|_{y=0}=0,\left. \frac{\partial H_z}{\partial y} \right|_{y=b}=0\\ \end{array} \right.\\ \end{aligned}$
沿均匀波导传播的波有哪三种基本形式？

横电波（TEM波），无 Ez 分量和 Hz 分量；横磁波（TM波），包含非零 Ez 分量，Hz=0；横电波（TE波），包含非零的 Hz 的分量，Ez=0。
波阻抗的定义是什么？

横向电场与横向磁场的比值成为波阻抗。Z=E/H。
试述均匀导波系统中的 TEM 波、TM 波和 TE 波的传播特性？

TEM 波的传播特性与无界空间中的均匀平面波的传播特性相同；对于 TM 波和 TE 波，传播特性取决于传播常数 $\gamma$。

$\gamma$ 为虚数时，电磁波是沿 z 方向传播的行波；$\gamma$ 为实数时，电磁波沿 z 方向指数衰减，导波系统处于截止状态，没有传播。（$\gamma=0$ 时虽然没有指数衰减，但 $e^{-\gamma z}=1$，也没有沿 z 方向传播）。
写出 a×b 矩形波导中 TM波和 TE 波的截止波数、截止频率、相位常数、波导波长、相速度、波阻抗和传播条件。

截止波数：$k_{cmn}=\sqrt{\left( \frac{m\pi}{a} \right) ^2+\left( \frac{n\pi}{b} \right) ^2}$

截止波长：$\lambda _{cmn}=\frac{2\pi}{k_{cmn}}$

截止频率：$f_{cmn}=\frac{k_{cmn}}{2\pi \sqrt{\mu \varepsilon}}$

相位常数：$\beta _{mn}=\sqrt{k^2-k_{cmn}^2}=\sqrt{\omega ^2\mu \varepsilon -\left( \frac{m\pi}{a} \right) ^2-\left( \frac{n\pi}{b} \right) ^2}$，还可以表示为 $\beta _{mn}=k\sqrt{1-\left( \frac{f_{cmn}}{f} \right) ^2}=k\sqrt{1-\left( \frac{\lambda _{cmn}}{\lambda} \right) ^2}$。

传播常数：$\gamma _{mn}=\sqrt{k_{cmn}^2-k^2}$，当 $k_{cmn}^2-k2 <0 $ 时，传播常数为虚数，有 $\gamma _{mn}=j\sqrt{k^2-k_{cmn}^2}=j\beta _{mn}$ 。波导波长：$\lambda _{gmn}=\frac{2\pi}{\beta _{mn}}>\lambda$

相速度：$v_{pmn}=\frac{\omega}{\beta _{mn}}>v_p$

波阻抗：（注意，两种波计算式不同）

$Z_{TMmn}=\frac{\gamma _{mn}}{j\omega \varepsilon}=\frac{\beta _{mn}}{\omega \varepsilon}=\eta \sqrt{1-\left( \frac{\lambda _{cmn}}{\lambda} \right) ^2} <\eta$

$Z_{TEmn}=\frac{j\omega \mu}{\gamma _{mn}}=\frac{\omega \mu}{\beta _{mn}}=\frac{\eta}{\sqrt{1-\left( \lambda _{cmn}/\lambda \right) ^2}}>\eta$。

传播条件：均为 $k>k_{cmn}$。(工作频率大于截止频率，工作波长小于截止波长)
矩形波导中的波是否存在色散？

存在，由上述公式可知，波导中的相速度与传播模式、工作频率均有关，因此矩形波导是色散的波导系统。
试说明为什么单导体的空心或填充电介质的波导管不能传播TEM波？

假如在波导内存在TEM波，由于磁场只有横向分量，则磁力线应在横向平面内闭合，这时要求波导内存在纵向的传导电流或位移电流。但是，因为是单导体波导，其内没有纵向传导电流。又因为TEM 波纵向电场 Ez=0，所以也没有纵向的位移电流。
波导可否有一个以上的截止频率？波导的截止频率取决于什么因素？

可以。波导的截止频率取决于波导的尺寸、传播模式以及波导中的介质。
什么是波导的主模？矩形波导、圆柱形波导和同轴波导的主模各是什么模式？相应的截止波长各是什么？

在所有传播模式中截止频率最小，即截止波长最长的模式被称为主模。

矩形波导的主模是 $TE_{10}$，截止波长为 $\lambda_{c10}=2a$；

圆柱形波导的主模是 $TE_{11}$，截止波长为 $\lambda_{c11}=3.41a$；（嗯？某版本写的是 3.13a ?）

同轴波导的主模是 $TEM$ 模，截止波长为无穷大。
什么叫模式简并？矩形波导中的模式简并和圆柱形波导中的模式简并有何异同？

模式简并是指不同的模式具有相同的传播参数的现象。在矩形波导中 $TE_{mn}$ 与 $TM_{mn}$ （m ≠ 0，n≠0）互为简并模式；圆柱形波导中， $TE_{0n}$ 与 $TM_{1n}$ 存在 E-H 简并；此外，圆柱形波导中除了上述简并外，还存在极化简并的情况，这是圆柱形波导特有的。
试画出矩形波导中的主模在三个坐标截面上的场图及管壁电流分布。
何谓分布参数？试写出均匀传输线的电压电流方程。

PASS
分别写出已知终端电压、电流和已知始端电压电流条件下均匀传输线上的电压电流分布。

PASS
传输线特征阻抗的定义是什么？输入阻抗的定义是什么？分别写出终端短路、终端开路、$\frac{\lambda}{4}$、$\frac{\lambda}{2}$ 及 $Z_L = Z_0$（负载阻抗等于特征阻抗）时无耗均匀传输线的输入阻抗。

PASS
什么是反射系数？什么是驻波系数和行波系数？

传输线上某点的反射波电压与入射波电压之比定义为该点的反射系数。传输线上电压(电流)最大值与电压(电流)最小值之比称为电压(电流)驻波系数。行波系数定义为驻波系数的倒数。
传输线有几种工作状态？相应的条件是什么？有什么特点？

PASS。

第 8 章

写出滞后位的表达式，并解释滞后位的物理意义。

$\varphi \left( \boldsymbol{r,}t \right) =\frac{1}{4\pi \varepsilon}\int_V{\frac{\rho \left( \boldsymbol{r',}t-|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'|/}v \right)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'|}}dV'}$；$\boldsymbol{A}\left( \boldsymbol{r,}t \right) =\frac{\mu}{4\pi}\int_V{\frac{\boldsymbol{J}\left( \boldsymbol{r',}t-|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}|/v \right)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}|}dV'}$；滞后位表明了观察点位场滞后于源的变化，所推迟的时间等于源的变化以速度 $v=\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ 传播到观察点所需要的时间。
试述天线近区和远区的定义。

$kr \ll 1$ 的区域为近区，$kr \gg 1$ 的区域为远区。
分别写出电偶极子辐射的近场区和远场区，并说明其特性。

近场区：$\left\{ \begin{array}{l} E_r=\frac{ql\cos \theta}{2\pi \varepsilon _0r^3}\\ E_{\theta}=\frac{ql\sin \theta}{4\pi \varepsilon _0r^3}\\ \end{array} \right.$；$H_{\phi}=\frac{Il\sin \theta}{4\pi r^2}$（注：$ I=jq$）

远场区：$\left\{ \begin{array}{l} E_{\theta}=j\frac{Il\eta _0}{2\lambda r}\sin \theta e^{-jkr}\\ H_{\phi}=j\frac{Il}{2\lambda r}\sin \theta e^{-jkr}\\ \end{array} \right.$

近区内，时变电偶极子的电场表示式与静电偶极子的电场表示式相同，磁场表示式与恒定电流元的磁场表示式相同，故称近区场为准静态场；电场和磁场存在 π/2 的相位差；近区场没有电磁能量向外输出（这是忽略了 $\frac{1}{kr}$ 的低次幂项所得到的结果）。

远区场是辐射场，电磁波沿径向辐射；远区场是 TEM 波；远区场是非均匀球面波；远区场的振幅与 r 成反比；远区场的分布有方向性。
磁偶极子辐射场和电偶极子辐射场有哪些不同？分别画出他们 E 面和 H 面的方向图？

电偶极子辐射场的强度以距离的平方反比例减少，磁偶极子辐射场的强度以距离的立方反比例减少；磁偶极子辐射场的辐射模式在远场区域呈现出以磁场为主的辐射特性，而电偶极子辐射场的辐射模式在远场区域呈现出以电场为主的辐射特性；磁偶极子辐射场的总辐射功率与电偶极子辐射场的总辐射功率相比较小【因为电偶极子辐射场的辐射功率与辐射场的平方成正比，而磁偶极子辐射场的辐射功率与辐射场的四次方成正比，因此磁偶极子辐射场的辐射功率相对较小】

图 a 是 E 面（电场矢量所在并包含最大辐射方向的平面）方向图；图 b 是 H 面（磁场矢量所在并包含最大辐射方向的平面）方向图；图 c 是立体方向图。

磁偶极子的 E 面方向图和电偶极子的 H 面方向图相同，而 H 面方向图与电偶极子的 E 面方向图相同。

【附：磁偶极子的辐射场为 $\left\{ \begin{array}{c} E_{\phi m}=\frac{\omega \mu _0SI}{2\lambda r}\sin \theta e^{-jkr}\\ H_{\phi m}=-\frac{\omega \mu _0SI}{2\lambda r}\sqrt{\frac{\varepsilon _0}{\mu _0}}\sin \theta e^{-jkr}\\ \end{array} \right.$】
天线的基本参数有哪些？分别说明其定义。

方向性函数与方向图：天线辐射特性与空间坐标之间的函数关系式被称为天线的方向性函数。根据方向性函数绘制的图形被称为天线的方向图。

主瓣宽度：主瓣轴线两侧的两个半功率点的两条矢径之间的夹角。表示为 $2\theta_{0.5}$ （E 面）或 $2\phi_{0.5}$（H 面）。

副瓣电平：最大副瓣的功率密度 $S_1$ 和主瓣功率密度 $S_0$ 之比的对数值。

前后比：主瓣功率密度 $S_0$ 与后瓣功率密度 $S_b$ 之比的对数值。

方向性系数：相等辐射功率下，受试天线在其最大辐射方向上某点产生的功率密度与一理想无方向性天线在同一点产生的功率密度的比值。

效率：天线的辐射功率 $P_r$ 与输入功率 $P_{in}$ 的比值。

增益系数：相等输入功率下，受试天线在其最大辐射方向上某点产生的功率密度与一理想无方向性天线在同一点产生的功率密度的比值。

还有输入阻抗、有效长度、极化、频带宽度。
何谓对称天线？试画出半波对称天线 E 面和 H 面的方向图。

两部分长度相等而中心断开，并连接以馈电的导线，可用作发射和接收的天线叫做对称天线。【~~对称天线由两臂长各为 l 、半径为 a 的金属导体对称地构成。~~】

E 面方向图如下；H 面方向图是圆（未画出）。
试述方向图相乘原理。

多元阵的方向性函数等于阵因子和元因子的乘积。